الفهرس 
FundamentalsOnly 14 pages are availabe for public view
 |  | from | 164 |  |  |
| | | from | 164 | | |
Abstract
يهتم موضوعا التحليل العددي ونظرية التقريب بتقديم الطرق التقريبية لحلول المسائل المصاغة رياضيِاً مثل المعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسرية، ولما كان هناك العديد من الظواهر الطبيعية التى يمكن وصفها باستخدام هذه المعادلات أو بأنماطها التكاملية المناظرة، فإننا سوف نهتم في هذه الرسالة وعلى وجه الخصوص بأمثلة من المعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسرية وكذلك المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسرية المتغيرة، وسوف نركز هنا فى الحصول على التقاريب للدوال الصريحة المعرفة بمثل هذه المعادلات.
يعتبر أهم أهدافنا في هذه الرسالة والتى تتكون من ستة أبواب، هو تقديم وتطوير خوارزميات جديدة وفعالة للحصول على الحلول التقريبية لأنواع مختلفة من المعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسرية وكذلك المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسرية المتغيرة ذات الشروط الابتدائية والحدية، وذلك بإستخدام الطرق الطيفية التجميعية على أساس التعبير عن الحل الطيفى بالنسبة للمتغير البعدي بدلالة كثيرات حدود جاكوبى . تعتمد هذه الطرق في الأساس على إنشاء قواعد مستقلة من الدوال كتركيبة خطية من كثيرات حدود جاكوبى ولجندر المزاحة وجاكوبي المزاحة، ثم تفك دوال الحل بعد ذلك بدلالة هذه القواعد، الأمر الذي يمكننا من تطبيق الطرق الطيفية التجميعية على المعادلات التفاضلية الجزئية المراد حلها. يؤدي هذا الإنشاء إلى تعيين معاملات مفاكيك الحلول وذلك من خلال أنظمة لاخطية من المعادلات التفاضلية العادية في الزمن، الأمر الذي يمكننا من إيجاد حلها بفاعلية وكفاءة وذلك بإستخدام طريقة رونج كوتا من الدرجة الرابعة.
نهدف أيضا في هذه الرسالة لتقديم وبناء خوارزميات فعالة تعتمد على أساس التعبير عن الحل الطيفى بالنسبة للمتغيرين الزمني والبعدي بدلالة كثيرات حدود جاكوبى المزاحة، يؤدي هذا الإنشاء إلى تعيين معاملات مفاكيك الحلول وذلك من خلال أنظمة معادلات جبرية غير خطية.
تمكننا المفكوكات المقترحة للحلول من الحصول على التقريبات المطلوبة لأى قيمة ممكنة للبارامترين . (α>-1,β>-1) قمنا بصفة خاصة بدراسة الحالات الثلاث الخاصة والهامة وهى استخدام كثيرات حدود تشيبيشف من النوعين الأول (α=β=-1/2) و الثانى (α=β=1/2)، و كثيرات حدود لاجندار (α=β=0). و كذلك الحالتين الخاصتين بكثيرات حدود تشبيشيف من النوع الثالث والرابع (α=β=±1/2). وضحت النتائج النظرية وكذلك العددية أن الانظمة التى تعتمد على المفكوك بدلالة كثيرة حدود تشبيشيف من النوع الأول (α=β=-1/2)ليست هى الأفضل عن بقية كثيرات حدود جاكوبى الأخرى.
الباب الأول:
أعطينا في هذا الباب مقدمة مختصرة عن الطرق الطيفية ومميزاتها على طرق الفروق المحدده وطرق العنصر المنتهي. وضحنا أيضا الفروق بين الطرق الطيفية الثلاث والمستخدمة بصورة شائعة وهي طرق جالركن والطريقة التجميعية وطريقة تاو. قمنا كذلك بإعطاء دراسة مختصرة عن كثيرات الحدود المتعامدة وخصائصها ومفاكيك الدوال بدلالتها. أعطينا كذلك بعض الخصائص العامة لكثيرات حدود جاكوبي. قمنا كذلك بعرض بعض انواع الشروط الحدية.
الباب الثاني:
قدمنا في هذا الباب وبالتفصيل خورازم رياضي جديد وفعال لحل المعادلات التفاضلية الجزئية لفوكر بلانك. حيث استخدمنا طريقة الطيف التجميعية متبوعاَ بطريقة رونج كوتا من الدرجة الرابعه لحل المعادلات التفاضلية الجزئية لفوكر بلانك. يؤدي هذا الإنشاء إلى تعيين معاملات مفاكيك الحلول وذلك من خلال أنظمة لاخطية من المعادلات التفاضلية العادية في الزمن، الأمر الذي يمكننا من إيجاد حلها بفاعلية وكفاءة وذلك باستخدام طريقة رونج كوتا من الدرجة الرابعه.
الباب الثالث:
يعالج هذا الباب الدراسة العددية القائمة علي طريقة الطيف التجميعية باستخدام كثيرات حدود جاكوبي المزاحه لكل من المتغيرين البعدي والزمني للحصول علي حلول تقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسريه لفوكر بلانك والرتب الكسرية لمعادلة التريكومي بالنسبة للمتغير الزمني وقد تم تطبيق هذه الخوارزميات علي كلا من المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسريه علي الزمن لفوكر بلانك والتريكومي، المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسريه علي المتغير البعدي لفوكر بلانك، المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب الكسريه علي كلا من الزمن والمتغير البعدي لفوكر بلانك.
الباب الرابع:
ناقشنا في الباب الثالث كيفية تطبيق الخوارزم المقترح في الفصل الثاني والذي يعتمد علي طريقتي الطيف التجميعيه ورونج كوتا لحل المسائل العكسية (Inverse Problems) مقترنة بنوعين مختلفين من الشروط الاضافية. حيث اننا طبقنا طريقة الطيف التجميعية معتمدة علي كثيرة الحدود لجندر المزاحة واستكمال جاوس لوباتو. وتمت مقارنه النتائج مع ابحاث سابقة وتبين لنا الدقة العالية للطريقة محل الدراسة في هذا الباب.
الباب الخامس:
في هذا الباب قمنا باستنتاج صيغة جديدة للتفاضل الكسري لكثيرات حدودلاجندر المزاحه. كما أستخدامنا طريقة الطيف التجميعية معتمدة علي الصيغة التفاضلية المستنتجة لحل مسائل التحكم الأمثل من الرتب الكسرية بتعريف كابوتو. وقمنا بتقديم بعض المشاكل وحلها بحلول دقيقة ومقارنة نتائجها مع النتائج العددية التي تم الحصول عليهاباستخدام تقنيات أخرى وذلك لضمان دقة وصحة التقنية الجديدة التي نستخدمها والتي بينت لنا الدقة العالية للطريقة محل الدراسة في هذا الباب.
الباب السادس:
استطعنا في هذا الباب تطوير الطريقة المستخدمة في الباب الثالث لحل معادلات التريكومي ثنائية الابعاد ذات المتغير الزمني. وتستخدم كثيرات حدود جاكوبي المزاحه كدوال اساسية واشتقاقات ذات رتب كسرية بتعريف كابوتو. كما يقدم هذا الباب طريقة عددية عالية الدقة لمعادلات تفاضلية جزئية غير خطية ذات رتب كسرية متغيرة ثنائية الأبعاد. وتمت مقارنة النتائج مع أبحاث سابقة وتبين لنا الدقة العالية للطريقة محل الدراسة في هذا الباب.
قمنا بتوضيح النتائج التى حصلنا عليها في هذه الرسالة في شكل جداول بيانية ورسومات توضيحية كلما أمكننا ذلك. وضحت هذه النتائج أن الخوارزميات المقترحة لإيجاد الحلول الطيفية التقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية التي قمنا بدراستها دقيقة.
ومما يستوجب الذكر فإن البرامج التى استخدمت في هذه الرسالة نفذت على الحاسب الشخصي من النوع
(CPU Intel(R) Core(TM) i3-2350M 2 Duo CPU 2.30 GHz, 6.00 GB of RAM)
كما قمنا كذلك باستخدام البرنامج الرمزي الحسابي المعروف باسم (Mathematica 8) لعمل العمليات الحسابية الوسطية والجداول الحسابية وكذلك الرسومات التوضيحية في الرسالة ككل.