الفهرس 
Fractional CalculusOnly 14 pages are availabe for public view
 |  | from | 212 |  |  |
| | | from | 212 | | |
Abstract
تهتم هذه الرسالة بالحلول العددية والمبادى الاساسية للمعادلات التفاضلية ذات الرتب الكسرية المتعلقة بدوال الإنتقال الحقيقيه وغير الحقيقيه والإستقرار والأقطاب وتحقيق العناصرذات الرتب الكسرية. الرسالة تتكون من سبعة ابواب وهى كالتالى:
الباب الاول:
يقدم هذا الباب مقدمة عامه عن التفاضل والتكامل الكسرى مع سرد الابحاث العلميه السابقه التى تهتم بدراسه المعادلات التفاضلية ذات الرتب الكسريه من حيث الطرق المستخدمه فى دراسة استقرار الانظمة المختلفة والطرق العددية وشبة التحليلية لإيجاد حلولا لانواع مختلفه من المعادلات. أيضا بعض العناصر والدوائر الكهربية فى المجال الكسرى.
الباب الثانى:
يقدم هذا الباب أهم تعريفات التفاضل الكسرى مع عرض العلاقه بين تللك التعريفات ومميزاتهم وعيوبهم .أيضا يقدم بعض الطرق التقريبية لحساب التفاضل الكسرى وبعض الطرق العددية لحل المعالات التفاضلية ذات الرتب الكسرية ومنهم طريقة هوموتوبى التحليلية وطريقة التنبؤ والتصحيح .
الباب الثالث:
يهتم هذا الباب بدراسة الاستقرار للأنظمة الخطية ذات الرتب الكسرية و ثابت المعاملات مع الزمن. تم تقديم دوال تحليلية لحساب عدد الأقطاب الحقيقة وغير الحقيقة لمختلف الرتب الكسرية وتم اختبارها بالعديد من الامثلة العملية. ومناقشة علاقة عدد الاقطاب الحقيقية باستقرار الانظمة الخطية ذات الرتب الكسرية. بالأضافة الى دراسة تاثير الاقطاب غير الحقيقية على نواتج الأنظمة فى حالة الإستقرار. علاوة على ذلك تم تقديم حلول لدوال الانتقال الحقيقية وغير الحقيقية باستخدام دوال ميتاج- ليفلر Mittag-Leffler والتى تحقق تحليل استقرار النظام. وتم تحقيق هذه المبادىء على العديد من الانظمة الخطية فى مجالى الزمن والتردد.
الباب الرابع:
يقدم هذا الباب دوائر متماثلة العناصرللتحقيق المكثف ذات رتب الكسرية. حيث تحتوى دائره على مقاومه ومكثف بالتوصيل على التوالى وايضا دائره تقوم على مقاومة كول Cole واخرى على الجمع بين ومكثف ومقاومه بالتوصيل على التوالى و مقاومة كول. يتم حساب قيم العناصر وعددها عن طريق نهجا يعتمد على تقنية مينى ماكسMinimax. تم اختبار الدوائر المقترحه للمكثف ذات الرتب الكسريه فى دائرة مذبذب وين والاسترخاء وجاءت نتائج هذه الدوائر ذات اداء معقول. أيضا تم تقديم نهجا يعتمد على تقنية ميني ماكس لتحويل دائره بها عناصر غير خطية مثل عنصر الممرستور الى دائرة ذات عناصر خطية مثل المقاومات والمكثفات. تم إيجاد الحلول العددية لدائرة تتكون من اتش بى ممرستورHP memristor ومكثف ذات الرتب الكسرية على التوالى فى حالتى الشحن والتفريغ. أيضا تم استخدام هذه الحلول فى تكوين مسألة أمثلية مناسبة لتحويل الدائراة الى دائرة خطية تحتوى على مقاومة ومكثف ذات رتبة كسرية فى حالتى الشحن والتفريغ. جاءت النتائج مرضية فى مجال التردد بين الدائرتين والتى تمثل مرشح للترددات المنخفضة وأيضا فى مجال الزمن عند استخدام موجه مثلثية متردده. تم تقديم حلولا عدديه لبعض المعادلات التفاضلية ذات الرتب الكسريه المتغيره. هذه الحلول تتكون من كثيرة حدود تشيبيشيف ذات الأسس الكسرية ومع معاملات غير معلومه. يتم إيجاد المعاملات بتكوين مسالة أمثلية باستخدام تقنية مينى مكس والخطأ المتبقى للحل المقترح ليحقق المعادله التفاضلية ذات الرتب الكسرية المتغيره. تم حل العديد من المعادلات وأيضا مناقشة الحلول العددية لدائره تتكون من مقاومه ومكثف ذات الرتب الكسرية المتغيرة بالتوصيل على التوالى
الباب الخامس:
يقديم هذا الباب طريقة بيكارد المحكومه لإيجاد حلولا تقريبية للمعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية ذات الرتب الكسرية. هذه الطريقة تغطى الكثير من المسائل بسبب وجود معلمه تساعد على التقارب وهى مناسبه لحل المعادلات التفاضلية ذات الرتب العالية. أيضا تم الحصول على حل دقيق للنماذج الخطية ذات الرتب الكسرية باستخدام دوال ميتاج ليلفر. فى المسائل غير الخطية فان طريقة بيكارد المقترحة تعطى حلولا متماثلة مع حلول طريقة هوموتوبى التحليلية فى العديد من الرتب الكسرية. أيضا باستخدام الجمع بين طريقة بيكارد المحكومه وقاعدة سمبسون تم تقديم نهجا لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية مع وجود حدود قوية مثل داله الاسية وداله الجيب وجيب التمام وغيرهم. وتم حل مشكله براتو فى المجال الكسرى وتم اكتشاف الحلول المتعدده للمشكله فى نفس الوقت. أيضا تم اختبار الطريقة المقترحه على مسالة سين جوردنSine- Gordon ذات الرتب الكسرية وتظهر النتائج سهولة وكفاءة الطريقة المقترحه.
الباب السادس:
يقدم هذا الباب طريقتين لإيجاد حلولا عددية للمعادلات التفاضلية ذات الرتب الكسرية الموزعه. الطريقة الاولى تستخدم فى مسائل القيم الابتدائية وتعتمد على تحويل المعادله الى معادلة تفاضلية عادية خطية يمكن حلها بسهوله. وذلك يتم باستخدام نظرية تعريف كابوتو للمشتقه الكسريه ومصفوفه مشغل التكامل الكسرى لدوال تشيبيشيف. الطريقة الثانية تستخدم فى حل المسائل الحدية ذات النقطتين وتعتمد هذه الطريقة على طريقة بيكارد . الطريقه المقترحه تحتوى على معلمه للتقارب الحل باستخدام المتسلسلات. وقد استخدمت عدة أمثلة رقمية لتوضيح دقة التقنيات المقترحة. كما تمت دراسة استجابة النظام الميكانيكي الموصوف بواسطة هذه المعادلات.
الباب السابع:
يتناول هذا الباب الاستنتاجات والنتائج من الرسالة وبعض الاعمال المستقبلية.